ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.  Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением

m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А

n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Если A и B независимые события, то:

Пусть H1, Н2, …, Hn попарно несовместные события, образующие полную группу (т.е. сумма вероятностей этих событий =1). Будем называть их гипотезами.

Событие А – событие, которое может наступить при условии, что наступило одно из событий-гипотез (A/Hi).

Формула полной вероятности:

Формула Байеса:

где P(A) – полная вероятность

P(Hi/A) - вероятность гипотезы, при условии, что событие А произошло.

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события определённое количество раз при любом числе независимых испытаний. То есть, это вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления равна P, событие наступит ровно К раз.

Формула справедлива только для тех независимых испытаний, в которых вероятность события сохраняется постоянной!

где q - вероятность противоположного события: q=1-p

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рₙ(m) того, что событие А появится в п испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна (0<<1), то вероятность того, что число к наступлений события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от K1, до К2 при достаточно большом числе и приближенно равно:

В этой формуле:

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз приближенно равна:

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно пронумеровать.Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может иметь разные формы. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица (матрица), в которой в порядке возрастания перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

или

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником (или полигоном) распределения.

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция , которая для любого числа равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , т. е. .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2. F(x) - неубывающая функция, т. е. F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ > x₁;

3. F(-∞) = 0, F(+∞) = 1;

4. F(x) - непрерывна слева в любой точке x, т.е. F(x-0) = F(x), x∈R;

5. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a);

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

где суммирование ведется по всем индексам. Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений x₁, x₂, ..., xₙ, то ее математическое ожидание находится по формуле

M(X) = Σ_i=1ⁿ x_i · p_i

Свойства математического ожидания:

Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Постоянныймножитель можно выносить за знак математического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Дисперсией (рассеянием) (или ) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M(X - mₓ)²

Свойства дисперсии:

Постоянную можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат.

D(aX) = a²D(X)

Если случайные величины Х и У независимы, то

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина

σ(X) = √D(X)

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, бесконечное несчетное множество возможных значений которой есть некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой оси.

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция F(x), которая для любого числа x∈R равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, меньшее, чем x, т. е. F(x) = P(X < x).

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция φ(x) = F'(x)

Функцию φ(x) называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. φ(x) ≥ 0; обладает свойством нормированности:

∫_-∞^+∞ φ(x) dx = 1; _x→±∞ φ(x) = 0

График функции φ(x) называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

F(x) = ∫_-∞^x φ(t) dt

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток определяется равенством:

P(a ≤ X < b) = ∫_a^b φ(x) dx

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности φ(x), находится по формуле

M(X) = ∫_-∞^+∞ x φ(x) dx

Если X - непрерывная случайная величина с плотностью φ(x), то

D(X) = ∫_-∞^+∞ (x - m_X)² φ(x) dx (или D(X) = ∫_-∞^+∞ x² φ(x) dx - m_X²)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина

σ(X) = √D(X)

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности φ(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

φ(x) = { 1/(b-a) при a ≤ x ≤ b; 0 при x < a, x > b }

Равномерное распределение случайной величины X на участке [a, b] (или (a, b)) обозначают следующим образом: X ∼ R[a, b].

Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X, имеет вид:

F(x) = { 0 при x ≤ a; (x-a)/(b-a) при a < x ≤ b; 1 при x > b }

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам:

M(X) = (a + b)/2
D(X) = (b - a)²/12
σ(X) = (b - a)/√12

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания ряд значений (вариантов) с соответствующими им частотами.

Значения xi	x1	x2	...	xk
Частота ni	n1	n2	...	nk
Частости wi = ni/n	w1	w2	...	wk

Выборочная средняя:

X̅ = (∑_i=1^m x_i · n_i) / n

Выборочная дисперсия находится по формуле:

D_B = (∑_i=1^m x_i² · n_i) / n - X̄²

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

σ_B = √D_B

Размахом вариации называется число:

R = x_max - x_min

Модой вариационного ряда Mo называется то из значений 1x, 2x, 3x, …, nx, которому соответствует наибольшая частота.

Медиана Me — это значение варианты, которая является серединой вариационного ряда. Если количество вариант четное, то медиана вычисляется как среднее двух вариант, находящихся в середине множества.